傅立叶变换
傅立叶级数(指数)
如果$f(x)$是自变量为实数的复变函数，满足狄利克雷条件[1]，可以在区间$[-l,l]$上展开成复指数的线性组合[2]
$$
f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{in\pi x/l} \tag 1
$$
其中
$$
c_n=\frac1{2l}\int^\infty_{-\infty}e^{-in\pi x/l}f(x)\mathrm d x \tag 2
$$
当区间推广到全空间，也就是$l\to\infty$
取$k_n=n\pi/l$
有
$$
\Delta k =k_{n+1}-k_{n}=\frac{(n+1)\pi}l-\frac{n\pi}l=\frac{\pi}l
$$
$$
\frac1l=\frac{\Delta k}\pi \tag 3
$$
则傅立叶级数可以写成
$$
\begin{align}
f(x)&=\lim_{l\to\infty}\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{in\pi x/l}\
&=\lim_{l\to\infty}\sum_{n=-\infty}^\infty \left[\frac1{2l}\int^\infty_{-\infty}e^{-in\pi x/l}f(x)\mathrm d x\right]e^{in\pi x/l}\
&=\lim_{k\to\infty}\sum_{n=-\infty}^\infty \left[\frac{\Delta k}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}e^{-ikx}f(x)\mathrm d x\right]e^{ikx}\
\end{align} \tag 4
$$
求和变积分
$$
f(x)=\lim_{k\to\infty}\sum_{n=-\infty}^\infty \left[\frac{\Delta k}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}e^{-ikx}f(x)\mathrm d x\right]e^{ikx} \tag 5
$$
$$
f(x)=\int_{-\infty}^\infty \left[\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}e^{-ikx}f(x)\mathrm d x\right]e^{ikx} \mathrm dk
\tag 6
$$
式6为积分形式的傅立叶展开，其将一个复函数用复指数展开
傅立叶变换(指数)
从式5出发，令其中
$$
g(k)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}\mathrm d x \tag 7
$$
则有
$$
f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty g(k)e^{ikx}\mathrm dk \tag 8
$$
我们称式7为傅立叶变换，式8为傅立叶逆变换，其作用和傅立叶级数展开不同，能够把函数变换到不同的空间下，比如时域信号和场域信号之间的转换。
平面波
有了上面的知识，平面波的基组展开以及坐标和动量空间波函数的转换就很轻松了。
从式5出发，取$p=k/\hbar$，有平面波基组展开的积分表示形式
$$
\begin{align}
f(x)&=\int_{-\infty}^\infty \left[\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}e^{-ipx/\hbar}f(x)\mathrm d x\right]e^{ipx/\hbar} \mathrm d(\frac p\hbar)\
&=\int_{-\infty}^\infty \left[\frac{1}{2\pi\hbar}\int^\infty_{-\infty}e^{-ipx/\hbar}f(x)\mathrm d x\right]e^{ipx/\hbar} \mathrm dp\
\end{align} \tag 9
$$
记坐标表象下的波函数为$\psi_x=f(x)$所以动量空间的波函数$\psi_p$可以由傅立叶变换得到
$$
\psi_p=\frac1{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ipx/\hbar}\psi_x\mathrm d x
$$
所以动量表象下的波函数逆傅立叶变换为
$$
\psi_x=\frac1{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty \psi_pe^{ipx/\hbar}\mathrm dp
$$